Primzahl

Aber was sind Primzahlen überhaupt?
Die einfache Antwort lautet, es sind ganz allgemein Zahlen, die größer als 1 sind und keine Teiler außer 1 und sich selbst haben.

Primzahlen lassen sich in zwei Gruppen einteilen:

• Primzahlen, die gleich 4n+1 sind (mit einer natürlichen Zahl n)
• Primzahlen, die gleich 4n-1  sind (mit einer natürlichen Zahl n)

Zur ersten Gruppe gehört zum Beispiel 13, weil 4*3+1=13.
Zur zweiten Gruppe gehört zum Beispiel 19, weil 4*5-1=19.

Außerdem kann man den ersten Primzahlentyp immer durch die Summe zweier Quadrate darstellen:
13=2²+3²
Mit dem anderen Typ kann man nicht auf diese Weise verfahren!

Den Satz stellte Fermat auf, und Euler bewies ihn 1749.

Zusammensetzung der anderen, nicht Primzahlen:
Die Goldbachsche Vermutung sagt aus, dass man jede gerade Zahl als Summe zweier Primzahlen darstellen kann:
6=3+3
4=2+2
8=3+5
10=5+5
50=19+31
100=53+47
21000=17+20983
Der Beweis steht noch aus, allerdings gilt die Vermutung schon mal nachweislich für alle geraden Zahlen bis 100.000.000.

Man konnte auch beweisen, dass jede gerade Zahl die Summe von nicht mehr als 800.000 Primzahlen ist!

Fast-Primzahlen:
Es gibt auch Zahlen, die fast Prim sind, die sogenannten Fast-Primzahlen, sie besitzen nur zwei Primfaktoren.
21=7*3

Zahlen wie 120 sind überhaupt nicht Prim, weil sie mehr als 2 Primfaktoren besitzen!

Gibt es unendlich viele Primzahlen?
Grundsätzlich sind Primzahlen unendlich, den ersten bekannten Beweis dieser Vermutung lieferte uns Euklid ca. 300 Jahre vor Christus, ich führe hier den Beweis von Leonard Euler (1748) auf:

Sei p(x) eine Funktion, die zu einer gegebenen reellen Zahl x die Anzahl der Primzahlen angibt, welche kleiner oder gleich dieser reellen Zahl x sind. Weiterhin sind die Primzahlen in aufsteigender Größe nummeriert P = {p₁, p₂, p₃, ...} und der natürliche Logarithmus sei definiert als:

.
Aus dem Vergleich der Funktion f(t) = 1/t und einer oberen Treppenfunktion (siehe Abbildung) erhält man für n kleiner/gleich x kleiner/gleich n + 1 den Ausdruck:

,
wobei die Summe aus den natürlichen Zahlen m gebildet wird, welche nur Primfaktoren p kleiner/gleich x enthalten.


Da nun jede Zahl m auf eindeutige Weise als ein Produkt der Form:


geschrieben werden kann, ist ersichtlich, daß die Summe gleich


ist. Die Summe in der Klammer ist eine geometrische Reihe mit dem Faktor 1/p und daraus läßt sich:


ableiten. Nun ist p_k größer / gleich k + 1 und daher erhalten wir:

.
Daraus ergibt sich dann folgende Ungleichung:

.
Bekanntlich ist die Funktion log x nicht beschränkt und daraus folgt dann, daß die Funktion p(x) auch unbeschränkt sein muß und daher existieren unendlich viele Primzahlen.

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