Vollkommene Zahlen
Eine Vollkommene Zahl ist eine Zahl, deren Teiler, ausgenommen sie selbst, addiert sie selbst ergeben!
Die untere Tabelle nennt alle Vollkommenen Zahlen bis 8589869056.
| a) | 6 | Teiler: | 1, 2, 3 | Summe: |
6 |
| 28 | Teiler: | 1, 2, 4, 7, 14 | Summe: |
28 |
|
| 496 | |||||
| 8128 | |||||
| 33550336 | |||||
| 8589869056 |
Aber die Vollkommenen Zahlen haben noch andere elegante Eigenschaften, sie sind immer die Summe aufeinanderfolgender Zahlen:
| 6= | 1+2+3 |
| 28= | 1+2+3+4+5+6+7 |
| 496= | 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+ 11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+ 21+22+23+24+25+26+27+28+29+30+ 31 |
| 8128= | 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+ 11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+ 21+22+23+24+25+26+27+28+29+30+ 31+32+33+34+35+36+37+38+39+40+ 41+42+43+44+45+46+47+48+49+50+ 51+52+53+54+55+56+57+58+59+60+ 61+62+63+64+65+66+67+68+69+70+ 71+72+73+74+75+76+77+78+79+80+ 81+82+83+84+85+86+87+88+89+90+ 91+92+93+94+95+96+97+98+99+100+ 101+102+103+104+105+106+107+108+109+110+ 111+112+113+114+115+116+117+118+119+120+ 121+122+123+124+125+126+127 |
Die Vollkommenen Zahlen waren eine Leidenschaft von Phytagoras, Euklid entdeckte 3 Jahrhunderte nach ihm an den Vollkommenen Zahlen, dass sie immer das Produkt aus einer Zweierpotenz und der nächsthöheren Zweierpotenz sind, die zweite Potenz der Zahl 2 allerdings minus 1 genommen!
| 6= | 2 * (2²-1) |
| 28= | 2² * (2³-1) |
496 ist so 2 hoch 4 mal (2 hoch 5 minus 1), eine größere Vollkommene Zahle ist 2 hoch 216090 mal (2 hoch 216091 minus 1).
Sozusagen vor den Vollkommenen Zahlen stehen
die abundanten Zahlen, die Summe der Teiler einer solchen Zahl ist ohne die Zahl selbst,
größer als die Zahl selbst!
12: Teiler: 1, 2, 3, 4, 6 deshalb: 1+2+3+4+6=16 und wir wissen: 16>12, also ist 12 eine
abundante Zahl.
Neben den abundanten gibt es aber
logischerweise auch die defizienten Zahlen, die Teiler einer solchen Zahl sind ausgenommen
der Zahl selbst, kleiner als die Zahl selbst!
10: Teiler: 1, 2, 5 deshalb: 1+2+5=8 und wir wissen: 8<10, also ist 10 eine defiziente
Zahl.
Was hat das aber mit Vollkommenen Zahlen zu
tun, nun es gibt neben den defizienten Zahlen eben auch die leicht defizienten Zahlen, sie
sind fast Vollkommene Zahlen!
Zweierpotenzen sind zum Beispiel immer leicht defizient, das bedeutet die Summe der Teiler
von 2 hoch n (wobei n eine natürliche Zahl ist) ist immer um 1 kleiner als das Ergebnis
von 2 hoch n.
2²=4: Teiler: 1, 2 somit: Summe der Teiler: 1+2=3 und wir wissen: 3<4, also ist 4 eine
leicht defiziente zahl.
2³=8: Teiler: 1, 2, 4 somit: Summe der Teiler: 1+2+4=7 und wir wissen: 7<8, also ist 8
eine leicht defiziente Zahl.
Da es leicht defiziente Zahlen gibt könnte man annehmen, dass es auch leicht abundante Zahlen gibt, allerdings wurden bis heute keine entdeckt aber das schließt nicht aus, dass es eine Zahl geben könnte, deren Teiler (ausgenommen sie selbst natürlich) in der Summe um 1 größer sind als sie selbst, denn es gab noch keinen Beweis diesbezüglich!